3.4. Механическая энергия

3.4.1. Кинетическая энергия

Кинетическая энергия поступательного движения тела определяется формулой

где m - масса движущегося тела; v - модуль его скорости.

Для расчета кинетической энергии при поступательном движении тела существует еще одна формула:

где P = mv - модуль импульса движущегося тела.

Кинетическая энергия вращательного движения тела определяется формулой

W k = m ω 2 R 2 2 ,

где m - масса движущегося тела; ω - величина угловой скорости (циклическая частота); R - радиус окружности, по которой движется тело.

Для расчета кинетической энергии при вращательном движении тела существует еще одна формула:

W k = 2 m π 2 ν 2 R 2 ,

где ν - частота вращения тела.

При решении задач на расчет кинетической энергии системы тел полезно помнить, что она складывается из кинетических энергий каждого из тел:

W k сис = W k 1 + W k 2 + ... + W k N ,

где W k 1 , W k 2 , ..., W kN - кинетические энергии каждого тела.

При решении задач на расчет кинетической энергии вращательного движения могут оказаться полезными следующие формулы:

• связь между линейной v и угловой ω скоростями:

v = ωR ,

где R - радиус окружности по которой движется тело;

• связь между циклической частотой ω и частотой ν:

• связь между циклической частотой ω (или частотой ν) и периодом обращения тела по окружности T :

ωT = 2π или ν = 1 T .

Пример 24. Координата тела, движущегося вдоль оси Ox , зависит от времени по закону x (t ) = 8,0 − 2,0t + t 2 , где координата задана в метрах, время - в секундах. Определить изменение кинетической энергии тела с начала третьей до конца четвертой секунды движения. Масса тела составляет 3,0 кг.

Решение. Кинетическая энергия тела определяется формулами:

W k 1 = m v 2 (t 1) 2 ;

W k 2 = m v 2 (t 2) 2 ,

где v (t 1) - модуль скорости тела в начале третьей секунды; v (t 2) - модуль скорости тела в конце четвертой секунды.

Уравнение движения тела

x (t) = 8,0 − 2,0 t + t 2

позволяет установить закон изменения проекции скорости на ось Ox с течением времени в виде:

v x (t) = v 0 x + a x t ,

где v 0 x = −2,0 м/с - проекция начальной скорости на ось Ox ; a x = = 2,0 м/с 2 - проекция ускорения на указанную ось.

Таким образом, зависимость проекции скорости от времени, записанная в явном виде

v x (t) = − 2,0 + 2,0 t ,

позволяет получить соответствующие проекции скоростей:

• в начале третьей секунды движения (t 1 = 2 c)

v x (t 1) = − 2,0 + 2,0 t 1 = − 2,0 + 2,0 ⋅ 2 = 2,0 м/с;

• в конце четвертой секунды движения (t 2 = 4 c)

v x (t 2) = − 2,0 + 2,0 t 2 = − 2,0 + 2,0 ⋅ 4 = 6,0 м/с.

Значения кинетической энергии тела в указанные моменты времени:

• в начале третьей секунды движения (t 1 = 2 c)

W k 1 = 3,0 ⋅ (2,0) 2 2 = 6,0 Дж,

• в конце четвертой секунды движения (t 2 = 4 c)

W k 2 = 3,0 ⋅ (6,0) 2 2 = 54 Дж.

Искомая разность кинетических энергий составляет

Δ W k = W k 2 − W k 1 = 54 − 6,0 = 48 Дж.

Таким образом, кинетическая энергия тела за указанный интервал времени возросла на 48 Дж.

Пример 25. Тело движется в плоскости xOy по траектории вида x 2 + y 2 = 25 под действием центростремительной силы, величина которой равна 50 Н. Масса тела составляет 2,0 кг. Координаты x и y заданы в метрах. Найти кинетическую энергию тела.

Решение. Траектория движения тела представляет собой окружность радиусом 5,0 м. Согласно условию задачи, на тело действует только одна сила, направленная к центру этой окружности.

Модуль указанной силы является постоянной величиной, поэтому тело обладает постоянным центростремительным ускорением, не влияющим на величину скорости тела; следовательно, тело движется по окружности с постоянной скоростью.

Рисунок иллюстрирует данное обстоятельство.

Величина центростремительной силы определяется формулой

F ц. с = m v 2 R ,

где m - масса тела; v - модуль скорости тела; R - радиус окружности, по которой движется тело.

Выражение для кинетической энергии тела имеет вид:

Отношение уравнений

F ц. с W k = m v 2 R 2 m v 2 = 2 R

позволяет получить формулу для расчета искомой кинетической энергии:

Для решения задач при помощи теоремы об изменении кинетической энергии требуется умение вычислять кинетическую энергию и работу сил. Вычисление работы рассмотрено в предыдущих пунктах. Здесь рассмотрим вычисление кинетической энергии.

В общем случае кинетическая энергия системы вычисляется по формуле

Если система состоит из нескольких твердых тел, то кинетическая энергия будет равна сумме кинетических энергий отдельных тел: .

Рассмотрим, как вычисляется кинетическая энергия тела в различных случаях движения. При этом будем исходить из общей формулы для кинетической энергии системы, в которой под будем понимать теперь массы и скорости малых частиц тела, на которые мысленно разбивается движущееся тело.

При поступательном движении скорости всех точек тела геометрически равны: для вычисления кинетической энергии получаем формулу

(скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля), то в конечном результате содержится модуль v скорости v тела.

Таким образом, кинетическая энергия твердого тела при поступательном движении определяется так же, как для материальной точки с массой и скоростью, равными массе и скорости тела:

При вращательном движении (рис. 52) будем иметь.

Получено правило: кинетическая энергия тела при его вращении вокруг неподвижной оси равна половине произведения момента инерции тела относительно оси вращения на квадрат угловой скорости.

При сложном движении тела кинетическую энергию вычисляют при помощи следующей теоремы (теоремы кинетическая энергия механической системы равна кинетической энергии ее центра масс в предположении, что в нем сосредоточена масса всей системы, плюс кинетическая энергия системы в ее относительном движении по отношению к осям Кёнига.

Докажем эту теорему. Пусть скорости материальных точек системы относительно неподвижной системы координат Oxyz равны соответственно . Введем вспомогательную систему координат С началом в центре масс системы С и осями, движущимися поступательно вместе с центром масс (рис. 53; на рисунке оси выбраны соответственно параллельными осям ). Как и для твердого тела (см. с. 56 и рис. 32) эти вспомогательные оси называются осями Кёнига. Теперь движение каждой точки системы можно рассматривать как движение сложное, в котором переносным является движение осей Кёнига, а относительным - движение точки по отношению к осям Кёнига. Для скоростей , являющихся абсолютными скоростями, на основании теоремы сложения скоростей можем записать:

Здесь учтено, что при переносном поступательном движении переносные скорости всех точек одинаковы и равны скорости начала по-движной системы координат (в данном случае - скорости центра масс). Подставляя это выражение в формулу для кинетической энергии системы, получаем:

В этой формуле - кинетическая энергия системы в относительном движении по отношению к осям Кёнига; - относительная скорость центра масс по отношению к этим же осям. В силу выбора подвижных осей и из полученного равенства следует - момент инерции тела относительно оси Кёнига, перпендикулярной плоскости движения. После подстановки этого значения в формулу Кёнига, получаем

По этой формуле и следует вычислять кинетическую энергию тела при плоскопараллельном движении.

Кинетическая энергия - скалярная физическая величи­на, равная половине произведения массы тела на квадрат его скорости.

Что бы понять, что же такое кинетическая энергия тела, рассмотрим случай, когда тело массой m под действием постоянной силы (F=const) движется прямолинейно равноускоренно (а=const). Определим работу силы, приложенной к телу, при изменении модуля скорости этого тела от v1 до v2.

Как мы знаем, работа постоянной силы вычисляют по формуле . Так как в рассматриваемом нами случае направление силы F и перемещения s совпадают, то , и тогда у нас получается, что работа силы равна А=Fs. По второму закону Ньютона найдем силу F=ma. Для прямолинейного равноускоренного движения справедлива формула:

Из это формулы мы выражаем перемещение тела:

Подставляем найденные значения F и S в формулу работы, и получаем:

Из последней формулы видно, что работа силы, приложенной к телу, при изменении скорости этого тела равна разности двух значений некоторой величины . А механическая работа это и есть мера изменения энергии. Следовательно, в правой части формулы стоит разность двух значений энергии данного тела. Это значит, что величина представляет собой энергию, обусловленную движением тела. Эту энергию называют кинетической. Она обозначается Wк.

Если взять выведенную нами формулу работы, то у нас получится

Работа, совершаемая силой при изменении скорости тела, равна изменению кинетической энергии этого тела

Так же есть:

Потенциальная энергия:

В формуле мы использовали:

Кинетическая энергия

Масса тела

Скорость движения тела

Слово «энергия» в переводе с греческого означает «действие». Энергичным мы называем человека, который активно двигается, производя при этом множество разнообразных действий.

Энергия в физике

И если в жизни энергию человека мы можем оценивать в основном по последствиям его деятельности, то в физике энергию можно измерять и изучать множеством различных способов. Ваш бодрый друг или сосед, скорее всего, откажется повторить тридцать-пятьдесят раз одно и то же действие, когда вдруг вам взбредет на ум исследовать феномен его энергичности.

А вот в физике вы можете повторять почти любые опыты сколь угодно много раз, производя необходимые вам исследования. Так и с изучением энергии. Ученые-исследователи изучили и обозначили множество видов энергии в физике. Это электрическая, магнитная, атомная энергия и так далее. Но сейчас мы поговорим о механической энергии. А конкретнее о кинетической и потенциальной энергии.

Кинетическая и потенциальная энергия

В механике изучают движение и взаимодействие тел друг с другом. Поэтому принято различать два вида механической энергии: энергию, обусловленную движением тел, или кинетическую энергию, и энергию, обусловленную взаимодействием тел, или потенциальную энергию.

В физике существует общее правило, связывающее энергию и работу. Чтобы найти энергию тела, надо найти работу, которая необходима для перевода тела в данное состояние из нулевого, то есть такого, при котором его энергия равна нулю.

Потенциальная энергия

В физике потенциальной энергией называют энергию, которая определяется взаимным положением взаимодействующих тел или частей одного и того же тела. То есть, если тело поднято над землей, то оно обладает возможностью падая, произвести какую-либо работу.

И возможная величина этой работы будет равна потенциальной энергии тела на высоте h. Для потенциальной энергии формула определяется по следующей схеме:

A=Fs=Fт*h=mgh, или Eп=mgh,

где Eп потенциальная энергия тела,
m масса тела,
h - высота тела над поверхностью земли,
g ускорение свободного падения.

Причем за нулевое положение тела может быть принято любое удобное нам положение в зависимости от условий проводимых опыта и измерений, не только поверхность Земли. Это может быть поверхность пола, стола и так далее.

Кинетическая энергия

В случае, когда тело движется под влиянием силы, оно уже не только может, но и совершает какую-то работу. В физике кинетической энергией называется энергия, которой обладает тело вследствие своего движения. Тело, двигаясь, расходует свою энергию и совершает работу. Для кинетической энергии формула рассчитывается следующей образом:

A = Fs = mas = m * v / t * vt / 2 = (mv^2) / 2 , или Eк= (mv^2) / 2 ,

где Eк кинетическая энергия тела,
m масса тела,
v скорость тела.

Из формулы видно, что чем больше масса и скорость тела, тем выше его кинетическая энергия.

Каждое тело обладает либо кинетической, либо потенциальной энергией, либо и той, и другой сразу, как, например, летящий самолет.

Потенциальная и кинетическая энергия позволяют охарактеризовать состояние любого тела. Если первая применяется в системах взаимодействующих объектов, то вторая связана с их движением. Эти виды энергии, как правило, рассматриваются тогда, когда сила, связывающая тела, независима от траектории движения. При этом важны только начальное и конечное их положения.

Общие сведения и понятия

Кинетическая энергия системы является одной из важнейших ее характеристик. Физики выделяют два вида такой энергии в зависимости от вида движения:

Поступательная;

Вращения.

Кинетическая энергия (Е к) представляет собой разность между полной энергией системы и энергией покоя. Исходя из этого, можно сказать, что она обусловлена движением системы. Тело имеет ее только тогда, когда оно движется. В состоянии покоя объекта она равняется нулю. Кинетическая энергия любых тел зависит исключительно от скорости движения и их масс. Полная энергия системы находится в прямой зависимости от скорости ее объектов и расстояния между ними.

Основные формулы

В том случае, когда любая сила (F) действует на тело, находящееся в покое так, что оно приходит в движение, можно говорить о совершении работы dA. При этом величина этой энергии dE будет тем выше, чем больше совершается работы. В этом случае верно такое равенство: dA = dE.

С учетом пути, пройденного телом (dR) и его скорости (dU), можно воспользоваться 2 законом Ньютона, исходя из которого: F = (dU/dE)*m.

Вышеуказанный закон используется только тогда, когда имеется инерциальная система отсчета. Существует еще один важный нюанс, учитываемый при расчетах. На значение энергии влияет выбор системы. Так, согласно системе СИ, она измеряется в джоулях (Дж). Кинетическая энергия тела характеризуется массой m, а также скоростью перемещения υ. В этом случае она составит: E k = ((υ*υ)*m)/2.

Исходя из вышеуказанной формулы, можно сделать вывод, что кинетическую энергию определяют массой и скоростью. Иными словами, она представляет собой функцию движения тела.

Энергия в механической системе

Кинетическая энергия представляет собой энергию механической системы. Она зависит от скорости движения ее точек. Данная энергия любой материальной точки представляется такой формулой: E = 1/2mυ 2, где m - масса точки, а υ - ее скорость.

Кинетическая энергия механической системы являет собой арифметическую сумму таких же энергий всех ее точек. Ее также можно выразить следующей формулой: E k = 1/2Mυ c2 + Ec, где υc — скорость центра масс, М - масса системы, Ec - кинетическая энергия системы при движении вокруг центра масс.

Энергия твердого тела

Кинетическая энергия тела, которое движется поступательно, определяется как и такая же энергия точки с массой, равной массе всего тела. Для расчета показателей при перемещении применяются более сложные формулы. Изменение этой энергии системы в момент ее перемещения из одного положения в другое происходит под воздействием приложенных внутренних и внешних сил. Оно равняется сумме работ Aue и A"u данных сил при этом перемещении: E2 - E1 = ∑u Aue + ∑u A"u.

Данное равенство отражает теорему, касающуюся изменения кинетической энергии. С ее помощью решаются самые разные задачи механики. Без этой формулы невозможно решить целый ряд важнейших задач.

Кинетическая энергия при высоких скоростях

Если скорости тела близки к скорости света, кинетическую энергию материальной точки можно рассчитать по следующей формуле:

E = m0c2/√1-υ2/c2 - m0c2,

где с - скорость света в вакууме, m0 - масса точки, m0с2 - энергия точки. При маленькой скорости (υ

Энергия при вращении системы

Во время вращения тела вокруг оси каждый его элементарный объем массой (mi) описывает окружность радиусом ri. В этот момент объем имеет линейную скорость υi. Поскольку рассматривается твердое тело, угловая скорость вращения всех объемов будет одинакова: ω = υ1/r1 = υ2/r2 = … = υn/rn (1).

Кинетическая энергия вращения твердого тела представляет собой сумму всех таких же энергий его элементарных объемов: E = m1υ1 2/2 + miυi 2/2 + … + mnυn 2/2 (2).

При использовании выражения (1), получаем формулу: E = Jz ω 2/2, где Jz - это момент инерции тела вокруг оси Z.

При сравнении всех формул становится ясно, что момент инерции - это и есть мера инертности тела во время вращательного движения. Формула (2) подходит для объектов, вращающихся относительно неподвижной оси.

Плоское движение тела

Кинетическая энергия тела, движущегося вниз по плоскости, складывается из энергии вращения и поступательного движения: E = mυc2/2 + Jz ω 2/2, где m - масса движущегося тела, Jz - момент инерции тела вокруг оси, υc - скорость центра масс, ω - угловая скорость.

Изменение энергии в механической системе

Изменение значения кинетической энергии тесно связано с потенциальной. Суть этого явления можно понять благодаря закону сохранения энергии в системе. Сумма E + dP во время перемещения тела всегда будет одинаковой. Изменение значения E всегда происходит одновременно с изменением dP. Таким образом, они преобразуются, словно перетекая друг в друга. Такое явление можно встретить практически во всех механических системах.

Взаимосвязь энергий

Потенциальная и кинетическая энергии тесно связаны между собой. Их сумму можно представить как полную энергию системы. На молекулярном уровне - это внутренняя энергия тела. Она присутствует постоянно, пока существует хотя бы какое-то взаимодействие между телами и тепловое движение.

Выбор системы отсчета

Для проведения вычисления значения энергии выбирают произвольный момент (его считают начальным) и систему отсчета. Определить точную величину потенциальной энергии возможно только в зоне воздействия сил, которые не зависят от траектории движения тела при совершении работы. В физике данные силы называют консервативными. Они имеют постоянную связь с законом сохранения энергии.

Суть разницы между потенциальной и кинетической энергией

Если внешнее воздействие минимально или сводится к нулю, изучаемая система всегда будет тяготеть к состоянию, в котором ее потенциальная энергия также будет стремиться к нулю. Например, подброшенный вверх мячик достигнет предела этой энергии в верхней точке траектории движения и в тот же момент начнет падать вниз. В это время накопленная в полете энергия преобразуется в движение (выполняемую работу). Для потенциальной энергии в любом случае существует взаимодействие как минимум двух тел (в примере с мячиком гравитация планеты оказывает на него влияние). Кинетическую энергию можно рассчитать индивидуально для любого движущегося тела.

Взаимосвязь разных энергий

Потенциальная и кинетическая энергия изменяются исключительно при взаимодействии тел, когда действующая на тела сила совершает работу, значение которой отлично от нуля. В замкнутой системе работа силы тяготения или упругости равняется изменению потенциальной энергии объектов со знаком «-»: A = - (Ep2 - Ep1).

Работа силы тяготения или упругости равняется изменению энергии: A = Ek2 - Ek1.

Из сравнения обоих равенств ясно, что изменение энергии объектов в замкнутой системе равняется изменению потенциальной энергии и противоположно ему по знаку: Ek2 - Ek1 = - (Ep2 - Ep1), или иначе: Ek1 + Ep1 = Ek2 + Ep2.

Из указанного равенства видно, что сумма этих двух энергий тел в замкнутой механической системе и взаимодействующих силами упругости и тяготения, всегда остается постоянной. Исходя из вышеизложенного, можно сделать вывод о том, что в процессе изучения механической системы следует рассматривать взаимодействие потенциальной и кинетической энергий.