К читателю.

Обратите внимание на использование оригамских методов решения задач, поскольку это искусство также знакомит учащихся со всеми геометрическими объектами и, главное, облегчает освоение курса. Ведь главной целью занятий оригами является всестороннее развитие геометрического мышления и формирование геометрических знаний средствами оригами, которые помогают преодолеть трудности, и позволяют учащимся «войти в пространство».

Немного из истории

Оригами - это японское искусство складывания бумаги, образовано от японского oru (складывать) и kami (бумага). Оригами - одно из самых доступных искусств, ведь для того, чтобы сложить фигурку требуется лишь листок бумаги. Стандартная бумага для оригами должна быть тонкой, прочной и должна хорошо держать складки. Обычно она с одной стороны белая, а с другой - цветная и имеет форму квадрата со стороной 15 см.

Родиной оригами является Япония. Объясняется это тем, что в этой стране процесс складывания удачно иллюстрировал некоторые мировоззренческие идеи философии Дзен. Немаловажным оказалось также сходство звучания японских слов "бумага" и "Бог" - "ками". Таким образом, у японцев возникала связь между религиозным ритуалом и складыванием фигурок из бумаги. Один из ритуалов с их использованием состоял в изготовлении небольших бумажных коробочек Санбо. В них помещали кусочки рыбы и овощей, которые предназначались в дар богам.

В периоды Камакура (1185-1333) и Муромати (1333-1573) оригами выходит за пределы храмов и достигает императорского двора. Аристократия и придворные должны были обладать определенными навыками и в искусстве складывания. В зажиточных семьях родители нанимали учителей оригамистов для преподавания искусства бумажной пластики. Записки, сложенные в форме бабочки, журавля, цветка или абстрактной геометрической фигуры, были символом дружбы или доброго пожелания для любимого человека. Различные знатные семьи использовали фигурки оригами как герб и печать. В период Адзути Момояма (1573-1603) и Эдо (1603-1867) оригами из церемониального искусства превратилось в популярный способ времяпровождения.

Сам термин оригами возник и закрепился только в 1880 году, когда данное искусство стало частью аристократического общества и вошло в число обязательных для японских семей. Япония, создавшая оригамную «азбуку», официально стала родиной оригами. Она задала некую классическую основу, от которой отталкивались остальные покорители искусства создания бумажных шедевров. Появление авторских моделей и начало развития оригами, как направления современного искусства, связывают с именем знаменитого японского мастера Акиры Йошизавы. Во второй половине двадцатого века он уже активно пользуется придуманной им системой записи процесса складывания и извлекает из хорошо известных базовых форм множество новых моделей.

Но нельзя сказать, что искусство оригами развивалось только в Японии. Например, в Испании под руководством Мигуеля Уманумо, образовалась «испанская школа», в которой были разработаны доселе фигурки. В 1937 году в Лондоне выходит в свет книга Маргарет Кембелл "Изготовление бумажных игрушек", в которой впервые упоминаются три традиционные на Востоке базовые формы - "водяная бомбочка", "птица" и "лягушка". В 1946 году схема складывания классического японского журавлика публикуется в одном из английских детских ежегодных журналов.

Фокусник Роберт Харбин (1909-1978) всерьез увлекается оригами и собирает любую информацию на эту тему. Он знакомится не только со всеми классическими работами, но и с изобретениями Акиры Йошизавы, который к этому времени уже стал известным японским оригамистом. В результате в 1955 году на телевизионном канале "Jigsaw" Харбин делает регулярную программу по оригами "Мистеры Левая и Правая Рука", а в 1956 г. он выпускает в свет книгу, полностью посвященную оригами. В июне 1965 г. в Англии в свет начинает выходить "Оригамский листок", а 22 апреля 1967 г. создается общественная организация - Английское Общество Оригами (British Origami Society - BOS), в этом году BOS исполнилось 43 года. В конце шестидесятых годов образовываются центры оригами в США, в Англии, в Турине и Флоренции, во Франции, в Нидерландах и Бельгии, Испанского центра оригами в Барселоне.

Не обошло стороной оригами и Россию, но сначала этот вид искусства был освоен детьми. Первым об оригами узнал юный наследник престола Николая II от учителя английского языка Чарльза Сиднея Гиббса, филолога из Кембриджа. Любовью к технике оригами отличался и великий русский писатель Лев Николаевич Толстой. Министерство иностранных дел Японии отправляет известного мастера-оригамиста Акиру Йошизаву, который к тому времени создал учебное пособие по оригами, в Европу, возложив на него почетную миссию: посредством оригами добиваться мира и дружбы со всеми странами. И вот в 1978 Йошизава с целой серией знаков передавал свои наработки россиянинам, он повсюду пропагандировал искусство оригами и его неограниченные возможности. Мощный толчок развитию отечественного оригами дает создание в 1989 и 1991 гг. двух общественных организаций - Московского и Петербургского центров оригами. В октябре 1995 года выходит в свет, одобренное Министерством образования Российской Федерации, первое издание учебника для начальной школы: "Уроки оригами в школе и дома". В марте 1996 г. в Петербурге проходит Первая Всероссийская конференция "Оригами и педагогика", материалы которой издаются отдельным сборником. Число отечественных изобретений, зарегистрированных в базе данных Петербургского центра оригами в 1998 г. превышает первую тысячу. Многие из этих работ вызывают должное восхищение у зарубежных оригамистов. В 1998 году в США издательство St. Martin Press выпускает книгу "Russian Origami", в которой представлены лучшие работы в технике складывания, изобретенные в России. В настоящее время организуются и олимпиады по оригами, что еще раз подтверждает значимость занятия оригами.

Таким образом, хотя на протяжении веков искусство делать фигурки из бумажного листа развивалось у каждого народа по-своему, но Япония навсегда остается неоспоримым лидером в области оригами. Ведь именно она подарила миру это искусство.

Оригаметрия.

Оригаметрия - это новая наука на стыке двух: оригами и геометрии. Геометрия - это и метод познания мира, и образ мышления, и язык, широко применяемый в жизни, и в частности в строительстве. Оригами - это вид творчества, вид искусства, столь же древний, как и геометрия. И их взаимосвязь дает новый простор в развитии этих наук .

Оригаметрия - это оригинальный подход к решению геометрических задач.

Основные понятия оригаметрии: точка; линия сгиба; квадратный лист бумаги. Основные отношения: линия сгиба проходит через точку; точка принадлежит линии сгиба. В основе оригаметрии, как и любой науки лежат аксиомы, которые предложил живущий в Италии японский математик Хумиани Хузита.

Сопоставление решения задач на построение спомощью циркуля, линейки и оригаметрии

Аксиомы циркуля и линейки:

Аксиомы ориганометрии :

1. построение отрезка по его концам.

2. построение луча с началом в данной точке, проходящего

через другую данную точку.

3. построение прямой, проходящей через данные две

точки.

4. построение окружности по центру и по радиусу.

5. построение точки пересечения двух прямых.

6. построение точки пересечения двух окружностей.

7. построение точки пересечения прямой и окружности

8. построение точки, принадлежащей построенной фигуре,

и точки, не принадлежащей построенной фигуре.

1. Существует единственный сгиб, проходящий через две

данные точки.

2. Существует единственный сгиб, совмещающий две

данные точки.

3. Существует сгиб, совмещающий две данные прямые.

4. Существует единственный сгиб, проходящий через

данную точку и перпендикулярный данной прямой.

5. Существует сгиб, проходящий через данную точку и

помещающий другую данную точку на данную прямую.

6. Существует сгиб, помещающий каждую из двух данных

точек на одну из двух данных пересекающихся прямых.

Данная система аксиом удовлетворяет всем требованиям, предъявляемым к системам аксиом, а именно, она является независимой, непротиворечивой и полной. Система аксиом 1 – 5 эквивалентна системе аксиом конструктивной геометрии, где в качестве основного инструмента используется чертёжный угольник. Отсюда следует, что методами оригами, то есть только перегибанием листа бумаги, возможно, решить любые задачи на построение, разрешимые при помощи чертёжного угольника, а значит, разрешимые и при помощи классических инструментов - циркуля и линейки. Аксиома О6 не может быть решена методами конструктивной геометрии, так как построения, проводимые в этой аксиоме, сводятся к решению кубического уравнения, не имеющего рациональных корней. Возможности построения при помощи перегибания квадратного листа бумаги намного больше, чем при использовании классических чертёжных инструментов. В оригаметрии считается:

Роль прямых будут играть края листа и линии сгибов, образующиеся при его перегибании.

Роль точек - вершины углов листа и точки пересечения линий сгибов друг с другом или с краями листов

Из чего же состоит любая оригамская задача?

Из постановки задачи.

Из оригамского решения, проверки или способа построения.

Из математического обоснования, то есть доказательства того, что в результате действительно получается фигура с требуемыми свойствами.

Оригаметрия - область очень молодая, и, наверное, поэтому мы пока не видели ни соответствующих программ, ни учебников, которые давали бы матери­ ал с помощью оригаметрии . Поэтому нашей задачей является изучение органического включения оригами в курс математики, в частности использование приемов сгибания бумаги для решения геометрической задачи.

Простые базовые формы

Треугольник

Книга

Дверь

Воздушный змей

Средние базовые формы

Блин

Рыба

Двойной треугольник

Двойной квадрат

Видя эти формы мы понимаем, что на занятиях по математике при помощи оригами можно повторить следующие понятия: горизонтальные, вертикальные, наклонные линии; сложение квадрат разными способами, смежные стороны, диагональ; квадраты; все виды треугольников.

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОРИГАМЕТРИИ В КУРСЕ ГЕОМЕТРИИ

Основные условные обозначения

« Великий квадрат не имеет пределов».

Попробуй простую фигурку сложить,

И вмиг увлечёт интересное дело.

А.Е. Гайдаенко

Деление прямого угла

Откладывание угла в 30 или 60 градусов не представляет проблем. Достаточно построить на стороне квадрата равносторонний треугольник. Для этого сначала разделим квадрат вертикальной складкой на два равных прямоугольника. Затем проведем складку, которая переносит угол квадрата на отмеченную линию.

У гол в 15 градусов теперь можно получить деля полученные углы в 60 и 30 градусов пополам.

Деление листа бумаги

Д еление листа бумаги на две части не представляет сложности, поскольку реализуется просто складыванием базовой формы книжка. Перейдем к более сложной задаче деления квадратного листа на три части.

Э та задача уже не столь проста. Для ее решения нам потребуется теорема Хага. Сложим угол квадрата к середине противоположной стороны. В таком случае точка пересечения другой стороны, противоположной этому углу и стороны, прилегающей к нему делит сторону в отношении один к двум. Таким образом, с помощью только складок мы нашли треть стороны квадрата .

С ледующая задача - деление стороны квадрата на четыре равные части. Для этого достаточно их поделить пополам, а затем, каждую из половинок снова пополам. Именно так происходит, когда мы складываем базовую форму дверь.

К ак легко догадаться, деление квадрата на пять частей с помощью складывания представляем собой гораздо более сложную задачу. Ее решение изображено на рисунке.

Для того чтобы разделить сторону квадрата на шесть частей, нам достаточно разделить ее на три части, как было показано ранее. А, затем, каждую из частей разделить пополам.

П оделить квадрат на восемь равных частей совсем просто. Для этого достаточно поделить его на четыре равные части, а затем, каждую из них разделить еще пополам.

М ожно заметить, что особые сложности вызывает деление квадрата на количество частей, являющееся простым числом. Приступим к делению стороны на семь одинаковых частей. Для этого сначала разделим квадрат на пять равных частей, а затем, сделаем действие, изображенное на картинке.

Д ля деления на девять равных частей можно предложить следующий способ.

Он заключается в том, чтобы разделить сначала на три равные части, а потом повторить деление на три для маленького квадрата. Однако этот способ плох тем, что при его применении на практике трудно будет соблюсти достаточную точность, поскольку погрешности, совершенные на разных этапах, складываются.

Правильные многоугольники и способы их изготовления из квадрата с помощью оригаметрии

Треугольник

Пятиугольник

Шестиугольник

Восьмиугольник

Практика и изучение оригаметрии касаются некоторых областей математики. Например, проблема плоского изгиба (возможно ли образец складки согнуть в двумерную модель) была объектом серьёзного математического исследования.

Проблема твёрдого оригами имеет некоторое практическое значение. Она формулируется так: если мы заменим бумагу листом металла и будем использовать стержни вместо линий складок, то сможем ли мы получить соответствующую модель? Примером решения этой проблемы являются твёрдые сгибы Миуры , используемые для развёртывания массивов солнечных батарей для космических спутников.

Тема: «Плоскость. Прямая. Луч»

Задача 1. Разделите отрезок на две равные части, на четыре равные части, на восемь равных частей. (В качестве отрезка рассматривается край прямоугольного или квадратного листа).

Задача 2. На сколько частей делят плоскость три прямые? Рассмотрите различные варианты расположения прямых на плоскости.

Тема: « Площадь. Формула площади прямоугольника».

Задача 1 :

Придумайте, как из листа прямоугольной формы изготовить лист квадратной формы?

1 способ

2 способ

Возьмите квадратный лист бумаги (далее квадрат) и перегните его, соединив вершины А и С

А В

АС – диагональ квадрата АВС D

D С

Найдите середины сторон AD и BC – точки M и N . Перегните квадрат, соединив эти точки.

А В

М N MN – средняя линия квадрата АВС D

D С

Сколько диагоналей и средних линий можно провести в квадрате? (две)

Что можно сказать о длине средней линии квадрата? (равна стороне квадрата)

Каким свойством обладает диагональ квадрата? Средняя линия? (делит квадрат на две равные фигуры)

Перегните квадрат по диагоналям, попробуйте доказать, что полученные при этом треугольники равны (совпадают при наложении)

Какими свойствами обладают эти треугольники? (прямоугольные, равнобедренные)

Задача 2: Возьмите прямоугольный лист бумаги и соедините его противоположные вершины.

Будут ли равны получившиеся треугольники? Почему?

Что можно сказать о площадях этих треугольников?

Как можно вычислить площадь каждого?

Какие измерения нужно провести, чтобы найти площади треугольников и прямоугольника?

Задача 3: Четыре сестры решили заняться цветоводством. На дачном участке бабушка отгородила им квадратный участок земли и сказала разделить его на четыре части равной площади, чтобы никому не было обидно. Сели сестры на крылечко, взяли каждая в руки бумажный квадрат и стали решать бабушкину задачу. Каждая придумала свой вариант раздела участка. А сколько вариантов придумаете вы?

1.
2.
3.
4.

5. 6. 7. 8.

Описание работы:

1.Возьмите квадрат размером 20  20 см

2.Согните квадрат по диагоналям, согните вершины квадрата к его центру

3.Переверните работу

4.Согните вершины квадрата к его центру

5.Сгибайте одновременно по всем указанным линиям

6.Проверьте результат и поверните фигурку «вверх ногами»

7. Раскройте четыре кармана

8.Засуньте в них четыре пальца одной руки

9.Ловушка готова.

Доказательство теорем:

Тема: Сумма углов треугольника

Теорема: сумма углов треугольника равна 180 0 .

1) Проведем сгиб через одну из вершин треугольника, перпендикулярно противоположной стороне (высоту треугольника).

2) Совместим вершины треугольника с точкой у основания высоты треугольника.

3) Получаем, что углы 1, 2 и 3 треугольника совпали при наложении с развернутым углом, следовательно, сумма углов равна 180 градусов.

Тема: Параллельные прямые.

Теорема 2. Накрест лежащие углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, равны.

1) Доказательство. Возьмем лист бумаги с двумя параллельными сторонами и секущей АВ. Сравним накрест лежащие углы- углы 1 и 2.

2) Совместим вершины накрест лежащих углов- точки А и В.

3)Углы 1 и 2 совпали при наложении, следовательно, угол 1 равен углу 2. Значит, накрест лежащие углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, равны.

Тема: Прямоугольный треугольник.

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 0 .

Согните треугольник по средним линиям. Острые углы без наложений составляют прямой угол, который равен 90 0 .

Строго учащиеся докажут эти теоремы в 7 классе, но наглядные модели уже сейчас заставят запомнить их надолго!

Задачи на построение:

Разделите прямой угол пополам.

Разделите прямой угол на четыре равные части.

*Разделите прямой угол на три равные части.

* - задача повышенной сложности

Р
ешение к задаче №3

Наметьте сгиб, делящий верхнюю сторону квадрата пополам.

Совместите вершину правого нижнего угла квадрата с некоторой точкой намеченной линии сгиба.

Перегните левую верхнюю часть фигурки и вернитесь в исходное положение квадрата.

Проверьте результат. Вершина левого нижнего угла квадрата линиями сгиба разделена на три равных угла.

Задачи на вычисление:

1.Возьмите квадратный лист бумаги АВС D . Согните его по диагонали. Согните к диагонали две смежные стороны квадрата, выходящие из вершины А.

А В

D M С

Вычислите углы АВН, АН C , АНМ

2.Возьмите квадратный лист бумаги АВС D . Повторите действия первой задачи. Согните к диагонали две смежные стороны, выходящие из вершины D .

А В

К Н

D M C

Вычислите углы AFC , углы четырехугольника AFCE .

Возьмите квадратный лист бумаги АВС D . Наметьте сгиб, делящий верхнюю сторону квадрата пополам. Совместите вершину правого нижнего угла квадрата с некоторой точкой намеченной линии сгиба. Совместите вершину левого нижнего угла квадрата с той же точкой намеченной линии сгиба.

1. 2.
3. 4.

А В

М Р

5. D C

Вычислите углы треугольников MDC , DKC , DKM

Тема: «Окружность и правильные многоугольники»

Задача 1: С помощью перегибаний найти центр вырезанного из бумаги круга.

1.
2.
3.
4.

Задача 2: С помощью перегибаний разделите круг на четыре равные части, на восемь равных частей. (Точки на окружности будут являться вершинами соответственно квадрата и правильного восьмиугольника).

Задача 3: С помощью перегибаний разделите круг на три равные части, шесть равных частей.

А А А А

C С

2. 3. D 4. D

В В В D

Описание работы:

E 1. Согните круг пополам

C 2. Перегните пополам так, чтобы точки А и В совпали

5. F D О- центр окружности

B 3. Перегните так, чтобы линия сгиба проходила через точку А, а точка О совпала с некоторой точкой на дуге окружности. Обозначим эту точку С

Линиями сгиба отметим на дуге точки С и D . Развернем. Получившиеся с левой стороны «засечки» обозначим соответственно точками Е и F

Точки A , D и F делят окружность на три равные части ( АО D = 120 0 )

Точки А, С, D , В, F , E делят окружность на шесть равных частей

Задача 4: С помощью перегибаний получите из квадрата правильный шестиугольник, правильный треугольник. (Правильный шестиугольник учащиеся получают вместе с учителем, повторяя его действия).

Задача 5: С помощью перегибаний правильного шестиугольника установите свойство его стороны, и вычислите величины углов.

Задача 6: Как можно вычислить площадь правильного шестиугольника? Произведите необходимые измерения и найдите эту площадь.

Тема: «Симметрия»

Представление о симметричных точках и фигурах можно сформировать через рассмотрение различных картинок и орнаментов, определение особенностей расположения точек или элементов фигуры. Затем построить точки и ввести соответствующие термины. Далее, используя определения, учащиеся должны установить, являются ли две точки симметричными относительно некоторой точки или прямой.

При изучении центральной симметрии с помощью оригами можно решить задачи:

Задача 1: С помощью перегибаний найдите центр симметрии квадрата.

Задача 2: С помощью перегибаний найдите центр симметрии прямоугольника.

Задача 3: С помощью перегибаний найдите центр симметрии круга.

Задача 4: С помощью перегибаний найдите центр симметрии правильного шестиугольника.

Задача 5: Есть ли центр симметрии у равностороннего треугольника?

В конце урока предложить учащимся собрать орнамент, имеющий центр симметрии.

(автор – Татьяна Юрьевна Погребняк. Россия)

1.
2.
3.
4.

5.
6.

Описание работы:

Начните с базовой формы «двойной треугольник». Порядок её изготовления смотри ниже, в схеме бабочки.

Спереди и сзади раскройте и расплющите по намеченным линиям два «кармана».

Проверьте результат и сделайте восемь таких модулей.

Схема соединения двух модулей (два острых уголка совпадают с двумя прямыми).

Соедините так три модуля и зафиксируйте их. Для этого в центре получившейся конструкции загните назад в «карман» все слои бумаги, кроме последнего.

Аналогично соедините все остальные модули.

Если работа выполняется группой учащихся, то она занимает немного времени.

При знакомстве с осевой симметрией можно выполнить ряд практических задач.

Задача1: Каждый ученик берет лист бумаги, изображает на нем цветным карандашом или мелком фигуру, затем проводит прямую и перегибает по ней лист так, чтобы получился отпечаток фигуры. В результате получаются фигуры симметричные, относительно прямой.

Вопрос: Можно ли назвать их симметричными?

Ответ: Да. Т.к. если перегнем лист бумаги по прямой, то фигуры совпадут, значит они симметричны относительно этой прямой.

Вопрос: Можно ли назвать их равными?

Ответ: Да. Т.к. совпали при наложении.

Задача 2: По заготовленным схемам предложить учащимся сложить модель бабочки.

Доказать, что бабочка – симметричная фигура относительно прямой. (Учащиеся перегибают изготовленную бабочку и видят, что линия сгиба делит фигуру на две части, которые совпадают. Линия сгиба – ось симметрии)

1. 2. 3. 4.

Найдите в слове БАБОЧКА буквы, имеющие вертикальную ось симметрии, горизонтальную, найдите буквы, у которых есть и вертикальная и горизонтальная оси симметрии. Есть ли в этом слове центрально симметричные буквы?

В качестве домашнего задания предложите учащимся найти другую схему изготовления бабочки, изготовить её по этой схеме, нанести на готовую бабочку симметричный рисунок.

Задания занимательного характера

Задача №1. Из квадрата сложить рубашки. Сложите базовую форму "Дверь". Что с ней надо сделать, чтобы получилась рубашка, у которой рукава с одной стороны белые, а с другой цветные (рис. 2а и 2б). Возьмите другой квадрат и сложите рубашку, чтобы у ней был белый воротничок, а посередине щелка (рис. 3а). Если справились, нарисуйте в пустом квадратике (рис. 3б) как будет выглядеть эта фигура сзади. Как сложить рубашку, у которой рукава цветные с двух сторон, находятся они наверху, а сама рубашка раскрывается снизу (рис. 4а и 4б).

Задание №2. Сложить из квадратов, окрашенных с одной стороны, фигурки с рисунков № 5 - 10.

Задание № 3. « Поймай зебру» (автор задачи - Девид Митчелл, Англия) Для выполнения этого задания возьмите четыре квадраты с белой стороной. И выполните задание на рисунке 11. Это легко. А теперь задание с рисунка 12 - это тоже не сложно. А теперь возьмите третий квадрат и попробуйте сложить зебру из четырех полос - цветная, белая, цветная и снова белая как на рисунке 13. Это уже не так просто! Пропорции получившегося прямоугольника могут быть любыми. Учтите, что через любую полоску могут проходить дополнительные складки. Важно, чтобы ее лицевая поверхность смотрелась как зебра. Если справились - возьмите четвертый квадрат и попробуйте сложить зебру из пяти полос - трех цветных и двух белых как на рисунке 14. Условия задачи прежние.
А может вы придумаете прямоугольник с шестью полосками - тогда вы будете первым в мире кто до этого додумался .

Заключение

Оригами и математика, словно две сестры, которые не терпят неточности и поспешности. Само оригами дает полет фантазии, а математика эту фантазию облачает в платье науки.

Литература.

Геометрия, 7-9: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.] – М.: Просвещение, 2008. – 384 с,: ил.

Оригами. Волшебный мир бумаги / А.В. Щеглова. – Ростов н/Д: Владис, 2009. – 640 с.

«Задачи по геометрии решаемые методами оригами» Белим С.Н Москва, и здательство «Аким» 1998г

«Оригами и геометрия», Афонькин С.Ю., Капитонова И.В. Чебоксары 1993г

«Оригами в геометрии», Чиканцева Н.И. Москва 1996г

Уроки оригами в школе и дома. Афонькин С.Ю. М.: Аким, 1996.

Ресурсы интернета

/ 1. К читалию__________________________________________1стр

2. Немного истории____________________________________1 стр

3. Оригаметрия_______________________________________4 стр

4. Сопоставление решения задач на построение с помощью циркуля, линейки и оригаметрии_______________________________________5 стр

5. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОРИГАМЕТРИИ В КУРСЕ ГЕОМЕТРИИ_8 стр

1. Деление прямого угла___________________________10 стр

   Деление листа бумаги___________________________ 11 стр

   Правильные многоугольники и способы их изготовления из квадрата с помощью оригаметрии______________13 стр

   Тема: Плоскость. Прямая. Луч.___________________17 стр

   Тема: Формула площади прямоугольника_________ 17 стр

   Доказательство теорем.

   • • • Тема: Сумма углов треугольника.

         Тема: Параллельные прямые.

         Тема: прямоугольный треугольник.

Задачи на вычисления.___________________________23 стр

Тема: окружность и правильные многоугольники.__24 стр

Задания занимательного характера________________29 стр

6. Заключение._______________________________________31 стр

Танграм - старинная восточная головоломка из фигур, получившихся при разрезании квадрата на 7 частей особым образом: 2 больших треугольника, один средний, 2 маленьких треугольника, квадрат и параллелограмм. В результате складывания этих частей друг с другом получаются плоские фигуры, контуры которых напоминают всевозможные предметы, начиная от человека, животных и заканчивая орудиями труда и предметами обихода. Такого рода головоломки часто называют "геометрическими конструкторами", "головоломками из картона" или "разрезными головоломками".

С танграмом ребенок научится анализировать изображения, выделять в них геометрические фигуры, научится визуально разбивать целый объект на части, и наоборот - составлять из элементов заданную модель, а самое главное - логически мыслить.

Как сделать танграм

Танграм можно сделать из картона или бумаги, распечатав шаблон и разрезав по линиям. Вы можете скачать и распечатать схему квадрата танграма, кликнув по картинке и выбрав "печать" или "сохранить картинку как...".

Можно и без шаблона. В квадрате чертим диагональ - получается 2 треугольника. Один из них разрезаем пополам на 2 небольших треугольника. Отмечаем на каждой стороне второго большого треугольника середину. Отсекаем по этим отметкам средний треугольник и остальные фигуры. Есть и другие варианты, как расчертить танграм, но когда вы его разрежете на части, они будут абсолютно те же самые.

Более практичный и долговечный танграм можно вырезать из жесткой офисной папки или пластиковой коробки из под DVD. Можно немного усложнить себе задачу, вырезав танграм из кусочков разного фетра, обметав их по краям, или вовсе из фанеры или дерева.

Как играть в танграм

Каждая фигура игры должна складываться из семи частей танграма, и при этом они не должны перекрываться.

Самый легкий вариант для детей дошкольников 4-5 лет - собирать фигуры по расчерченным на элементы схемам (ответам), как мозаику. Немного практики, и ребенок научится составлять фигуры по образцу-контуру и даже придумывать свои фигуры по такому же принципу.

Схемы и фигуры игры танграм

В последнее время танграм частенько используют дизайнеры. Самое удачное применение танграма, пожалуй, в качестве мебели. Есть и столы-танграмы, и трансформируемая мягкая мебель, и корпусная мебель. Вся мебель, построенная по принципу танграма, довольно удобна и функциональна. Она может видоизменятся в зависимости от настроения и желания хозяина. Сколько всевозможных вариантов и комбинаций можно составить из треугольных, квадратных и четырехугольных полок. При покупке такой мебели вместе с инструкцией покупателю выдаются несколько листов с картинками на разные темы, которые можно сложить из этих полок. В гостиной можно повесить полки в виде людей, в детской из этих же полок можно сложить котов, зайцев и птиц, а в столовой или библиотеке - рисунок может быть на строительную тему - дома, замки, храмы.

Вот такой многофункциональный танграм.

24 декабря 2016 в 00:32

Какая фигура из одинаковых плоских предметов будет дальше всего выглядывать за край стола?

• Научно-популярное ,
• Логические игры

• Перевод

В ноябре журнал Quanta озадачил своих читателей вопросами, касающимися составления фигур из одинаковых плоских предметов (таких, как монеты или костяшки домино). В этой статье даны как вопросы, так и подробные ответы на них.

Вопрос 1

В классической задаче построения нависающей фигуры все блоки должны быть однородными, одинаковыми по размеру и форме, и их длина принимается за единицу. На каждом уровне фигуры может быть только один блок. Блоки нельзя соединять или склеивать. Если у вас есть пять таких блоков, на какую максимальную длину может высунуться конец верхнего блока за край стола, на котором они лежат? Можете ли вы вывести формулу для максимального нависания при использовании n блоков?

Физически задача требует сбалансировать крутящий момент фигуры с двух сторон края стола. Крутящий момент каждой стороны находится произведением массы этой стороны и расстояния от центра масс до края. Когда центр масс всей фигуры находится над краем, на обе её стороны действует одинаковый момент, и общий крутящий момент системы равен нулю. Для составного объекта общий крутящий момент для любой грани можно найти, сложив крутящие момент всех составных частей. Поэтому мы можем разделить и властвовать над изначальной задачей, рассматривая только изменения, происходящие при добавлении нового блока к существующей стопке, нечто вроде математической индукции (назовём это физической индукцией).

Рассмотрим стопку из n-1 блоков, каждый из которых весит одну единицу веса и имеет длину в одну единицу длины. Стопка сбалансирована на краю стола. Представьте, что линия взгляда направлена вдоль края стола, и стол слева – то есть, свисающие концы блоков высовываются вправо. Поскольку стопка сбалансирована на краю, центр масс находится прямо над краем, и её крутящий момент равен нулю. Теперь представим, что мы подняли всю стопку вертикально, и расположили ещё один блок под ней так, чтобы его правый край был вровень с краем стола. На практике это может оказаться сложным, но в мысленном эксперименте это просто.

Мы добавили немного стабильности стопке, добавив n-ный блок снизу, поскольку центр масс всей стопки немного сместился влево. Обозначим это смещение х. n блоков весят n единиц, и у них появился общий крутящий момент x*n вокруг края стола, направленный влево. Вспомним, что у стопки из n-1 блоков общий момент нулевой. Мы добавили только момент нового блока – массой в одну единицу массы и с расстоянием до центра масс от края стола в половину единицы длины.

Получается, что x*n = 1/2, а значит, x = 1/2n, где x – расстояние до нового центра масс от края стола.

Это значит, что если вы сдвинете всю стопку из n блоков вправо на 1/2n длины, она будет идеально сбалансирована на краю – и это максимально возможный сдвиг. Для завершения построения индукции отметим, что максимальный свес первого блока с края стола составляет 1/2 единицы длины.

Поэтому, для пяти блоков мы подставляем в формулу n для каждого уровня от 1 до пяти, чтобы получить максимальный свес:

X=1/2+1/4+1/6+1/8+1/10=137/120=1,141(6)
Видно, что если начать сверху и затем добавлять блоки вниз, каждый сдвиг составит половину от обратного количества имеющихся блоков. Такие последовательности из обратных чисел известны, как гармонические ряды. Такой ряд медленно расходится, и при устремлении n к бесконечности тоже стремится к бесконечности.

Общая формула суммы для n блоков получается суммированием всех членов ряда. Получается половина n-ного гармонического члена, который можно записать, как:

Вопрос 2

Представьте, что у вас есть те же пять блоков, и вы хотите поставить на самый верхний из них некое украшение, в точке, удалённой на четверть длины блока от свисающего конца. Все блоки весят по одной единице веса, а украшение весит одну пятую от блока. Какая теперь длина максимального нависания? Как это меняет основную формулу?

Сначала рассмотрим первый блок с украшением, стоящим на нём, и лежащий так, что его правый край находится на одном уровне с краем стола. Центр масс блока без украшения находится в половине единицы длины от края стола. Украшение сдвинет его вправо, допустим, на x. Масса украшения 1/5, а его расстояние от нового центра масс будет 1/4-х. Приравняем моменты и получим х = 1/5*(1/4-х), следовательно, х = 1/24. Из-за украшения необходимо подвинуть первый блок влево на 1/24 длины, поэтому максимальный свес составляет теперь 11/24 вместо 1/2.

Для последующих блоков можно применить ту же индукцию, что и в первом вопросе. Получаем уравнение х(n+1/5) = 1/2, которое для n блоков упрощается до 1/2(n+1/5). Это даёт нам последовательность 1/24 + 5/12 + 5/22 + 5/32 + 5/42…, что приводит к максимальному нависанию в 1,057 для пятиуровневой фигуры. Отметим, что нависание первого блока не укладывается в общую схему благодаря дополнительному весу украшения. Тем не менее, появляется простая гармоническая последовательность, через которую легко можно высчитать окончательную сумму.

Вопрос 3

Представьте, что вы соревнуетесь с другом в игре, в которой необходимо создавать нависающие структуры. Сначала у вас есть по одному блоку. Вы ставите свои блоки с любым нависанием от края стола. Затем вам выдают случайное, но одинаковое количество дополнительных блоков от одного до четырёх. Каждый ход начинается с изначального блока в качестве основы, положение которого потом менять нельзя, и с дополнительного набора от одного до четырёх блоков. Как сильно вам нужно вынести изначальный блок за край стола, чтобы у вас оказался максимально возможный свес после большого количества ходов?

Поскольку вероятность наличия от двух до пяти блоков одинакова, вам нужно максимизировать сумму, обозначающую максимальный свес для этих четырёх случаев. Для стопки из 2-5 блоков есть оптимальная позиция первого блока, дающая максимальный свес всей стопки. Если построить на графике наибольший свес для каждого из четырёх возможных размеров следующей стопки, получится два линейных графика и два графика в виде перевёрнутой V. Их вершины указывают оптимальную начальную позицию изначального блока для стопок из 3-4 блоков. Просуммировав графики, получим общий график свеса, резко меняющий направление в каждой из четырёх оптимальных позиций. Оказывается, что наилучший общий свес достигается в оптимальной позиции для трёх блоков, после которой график идёт вниз. Поэтому нужно располагать изначальный блок в предположении, что вам дадут три дополнительных блока, и свес составит 1/6 единицы длины.

Читатели указали несколько ограничений, запрещающих этому гипотетическому математическому мосту уходить в бесконечность: ветер, неравномерность, отсутствие бесконечной точности, эластичность или недостаточная твёрдость блоков и стола, и т.д. Это, конечно, правильно. К этому можно добавить кривизну Земли и отсутствие бесконечного пространства. Какое из этих ограничений быстрее всего обвалит нашу стопку? Для ответа на этот вопрос полезно изучить смежный с ним: если забыть о свесах с края и просто складывать блоки Jenga один на другой, математически ограничения на высоту башни нет. Но развалят её небольшие несовершенства в блоках и неточность в их построении, а роль последней соломинки сыграет вибрация или ветер. То же верно и для нашей свешивающейся фигуры. Если скорректировать все эти факторы, в какой-то момент сыграет и жёсткость блоков, когда нижние блоки немного искривятся и отойдут от горизонтали из-за общего крутящего момента всех блоков выше, что приведёт к соскальзыванию верхних блоков.

Я упоминал, что достичь наибольшего свеса можно, если допустить использование нескольких блоков на одном уровне. Как отметило несколько читателей, оптимальное решение этой задачи описано в работе 2009 года «Максимальный свес» [